「健康保険でクリーニングはできますか？」

健康保険でのクリーニング、というのは「歯周病治療後の定期的メインテナンス」ということになると思います。
そのためには、歯周病（歯肉炎や歯周炎）があるという診断を受け、それらの治療を終えたあとに行うことになります。
まずは、お口の中を拝見させてください。歯周病（歯肉炎や歯周炎）があれば、それらを治療しなければなりません。
歯周病の治療をしたあとに病状が落ち着いていると判断されれば、「定期的メインテナンス」を開始することができます。
ちなみに、「歯周病がない人」は健康保険でのクリーニングはできません。健康だからです。健康保険は多くの方が納付された保険料で成り立っており、「病気の人」のためのものであって「健康な人」には使えません。その場合には予防クリーニング（自由診療）をお勧めいたします。
繰り返しになりますが、まずはお口の中を拝見させていただき、問題がないかどうかを把握することが一番大事なことです。

「どのくらいの間隔で定期的なクリーニングをしたらいいのでしょうか？」

これは非常に難しい質問です。まずは歯周病に罹っていない、歯や歯ぐきが健康な方の場合ですが、まずは半年に1回のチェックと予防クリーニングで十分だと考えます。
その場合に大事なのは、半年に1回のX線検査も含めたチェックとクリーニングをして、歯周病などになりつつある場合にはすみやかにその治療を始める、ということです。
現在口の中が健康な人が、半年に1回のクリーニングでずっと今後も健康でいられるという保証も科学的知見もありません。予防処置はあくまで病気の発症を起こりにくくするものであり、早期発見・早期治療が基本となります。
予防歯科学的には「２ヶ月ごとの徹底的なクリーニングをすることが、むし歯や歯周病を抑える」ことがわかっていますが、頻度は別にして、まずは歯科医院に足を運んでいただくことが「健康への第一歩」だと思います。

次に歯周病（歯肉炎や歯周炎）がある方の場合ですが、これは歯周治療をした上で、その後の治りかたを診て判断することになります。
重度の歯周病に対して歯周外科治療を行った場合や、糖尿病などの全身疾患のせいで、頻繁なメインテナンスが必要であると判断された場合などには、歯周治療後に頻回のメインテナンスを行うことが健康保険で認められています。
あるいは、そこまでの頻回のメインテナンスが必要と判断されない場合でも、歯周治療後の治癒経過次第では３ヶ月ごとのメインテナンスが必要に応じて健康保険で認められています。（2025年現在）